Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．
（1）求点C₁到平面AB₁D₁的距离；
（2）（理）求平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角（结果用反三角函数值表示）．
（文）E为棱CD的中点，求异面直线BE与AD₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，可得向量

C1A

、

AD1

、

AB1

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出平面AB₁D₁的一个法向量是

n

=（1，1，-1）．再利用点到平面的距离公式加以计算，即可得出
点C₁到平面AB₁D₁的距离；
（2）（理）根据正方体的性质得AD⊥平面CDD₁C₁，平面CDD₁C₁的一个法向量是

m

=（0，1，0），结合

n

=（1，1，-1）是平面AB₁D₁的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出

m

、

n

的夹角余弦，即可得到平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角大小；
（文）计算出E的坐标，从而得到

BE

=（-

1

2

a，a，0），结合

AD1

=（0，a，a）利用空间向量的夹角公式算出

BE

、

AD1

夹角的余弦值，即可求出异面直线BE与AD₁所成角的大小．

解答：解  （1）分别以AB、AD、AA₁为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
可得A（0，0，0）、D₁（0，a，a）、B₁（a，0，a）、C₁（a，a，a），
∴

C1A

=（-a，-a，-a），

AD1

=（0，a，a），

AB1

=（a，0，a）．
设

n

=（x，y，z）是平面AB₁D₁的一个法向量，
可得

n • AD1 =ay+az=0 n • AB1 =ax+az=0

．
令z=-1得x=y=1，于是平面AB₁D₁的一个法向量是

n

=（1，1，-1）．
因此，C₁到平面AB₁D₁的距离是
d=

| C1A • n |

|n|

=

|-a×1+(-a)×1+(-a)×(-1)|

1+1+1

=

3

3

a；
（2）（理）由（1）知，平面AB₁D₁的一个法向量是

n

=（1，1，-1）．
又∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面CDD₁C₁，
∴平面CDD₁C₁的一个法向量是

m

=（0，1，0）．
设平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角为θ（结合图形可知θ为锐角），
则cosθ=

| m • n |

|m| • |n|

=

|0×1+1×1+0×(-1)

0+1+0 • 1+1+1

=

3

3

．
∴平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角大小为arcsin

3

3

．
（文）∵E为棱CD的中点，∴E（

1

2

a，a，0），
结合B（a，0，0），可得

BE

=（-

1

2

a，a，0），
又∵

AD1

=（0，a，a），
∴cos＜

BE

，

AD1

＞=

BE • AD1

|BE| • |AD1|

=

- 1 2 a•0+a•a+0•a

1 4 a2+a2+02• 02+a2+a2

=

10

5

，
由此可得异面直线BE与AD₁所成的角等于arccos

10

5

．

点评：本题在正方体中求点到平面的距离、异面直线所成角和二面的平面角．着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究线线角、面面角和空间点到平面距离的求法等知识，属于中档题．