Question

已知x＞0，y＞0，x+y=1，求证：x⁴+y²＞

1

8

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：x＞0，y＞0，x+y=1，可得x⁴+y²=x⁴+x²-2x+1=f（x）．x∈（0，1）．由于f′（x）=4x³+2x-2，f^″=12x²+2＞0，可得f′（x）在x∈（0，1）上单调递增．而f′(

1

2

)•f′(

3

4

)＜0，因此f′（x）在(

1

2

，

3

4

)内存在唯一零点x₀．即4

x

3 0

+2x0-2=0．x₀是函数f（x）的极小值点也最小值点．利用f（x）≥f（x₀）即可证明．

解答： 证明：∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴y=1-x，
∴x⁴+y²=x⁴+（1-x）²=x⁴+x²-2x+1=f（x）．x∈（0，1）．
∴f′（x）=4x³+2x-2，
f^″=12x²+2＞0，
∴f′（x）在x∈（0，1）上单调递增．
而f′(

1

2

)•f′(

3

4

)＜0，因此f′（x）在(

1

2

，

3

4

)内存在唯一零点x₀．即4

x

3 0

+2x0-2=0．
∴x₀是函数f（x）的极小值点也最小值点．
∴f（x）≥f（x₀）=

x

4 0

+

x

2 0

-2x0+1=x0×

1

2

(1-x0)+

x

2 0

-2x₀+1=

1

2

x

2 0

-

3

2

x0+1=

1

2

(x0-

3

2

)2-

1

8

＞

1

2

(

3

4

-

3

2

)2-

1

8

=

5

32

＞

1

8

．
∴x⁴+y²＞

1

8

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．