精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
一次研究性课堂上,老师给出函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别依次对应给出下列命题
①函数f(x)的值域为(-1,1);
②若x1≠x2,则一定有f (x1)≠f (x2);
③若规定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 则 fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立.
你认为上述三个命题中正确的题号是
①②③
①②③
分析:命题①先求出在x>0时的函数值域,根据奇函数的性质,进一步求的函数在给定定义域内的值域;命题②判断函数在定义域内是单调函数;命题③若fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立,则fn-1(x)
x
1+(n-1)|x|
,验证是否有fn(x)=f(fn-1(x))成立.
解答:解:∵f(-x)=
-x
1+|-x|
=-
x
1+|x|
=-f(x),∴f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,当x>0时,
f(x)=
x
1+|x|
=
x
1+x
=
1
1+
1
x
,∵x>0,∴
1
x
>0
,∴1+
1
x
>1
,∴
1
1+
1
x
<1
,又x>0,∴0<f(x)<1,
又函数f(x)是奇函数,所以x<0,-1<f(x)<0,所以∈x(-1,1),故命题①正确.
设x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=
x1
1+|x1|
-
x2
1+|x2|
=
x1
1+x1
-
x2
1+x2
=
x1-x2
(1+x1)(1+x2)

∵x1>x2>0∴
x1-x2
(1+x1)(1+x2)
>0
,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,因为f(x)为奇函数,所以f(x)在
(-∞,+∞)上位增函数,若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2),故命题②正确.
由f2(x)=f(f1(x))=
x
1+|x|
1+|
x
1+|x|
|
=
x
1+\x|
1+
|x|
1+|x|
=
x
1+2|x|

f(fn-1(x))=
x
1+(n-1)|x|
1+|
x
1+(n-1)|x|
|
=
x
1+(n-1)|x|
1+
|x|
1+(n-1)|x|
=
x
1+n|x|

fn(x)=
x
1+n|x|

所以fn(x)=f(fn-1(x)),所以fn(x)=
x
1+n|x|
对任n∈N*恒成立.
故答案为①②③.
点评:前两个命题考查函数的基本性质,属于基本问题,第三个命题的判断具有开放性,特别是用fn-1(x)代换fn(x)中的x易出错,属于中难度问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

一次研究性课堂上,老师给出函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题:
甲:函数f(x)的值域为(-1,1);
乙:若x1≠x2则一定有f(x1)≠f(x2);
丙:若规定f1(x)=f(x),fn(x)=f(f1(x)),则fn(x)=
x
1+nx
,对任意的n∈N*恒成立
你认为上述三个命题中正确的个数有(  )
A、3个B、2个C、1个D、0个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

一次研究性课堂上,老师给出了函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题:
①函数f(x)的值域为(-1,1);
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2
③若规定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

一次研究性课堂上,老师给出函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同学在研究此函数时给出以下命题:
①函数f(x)的值域为[-1,1];     
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
③对任意的x1,x2∈R,存在x0,使得f(x1)+f(x2)=2f(x0)成立;
④若规定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 则 fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立.
你认为上述命题中正确的是
②③
②③
.(请将正确命题的序号都填上)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

一次研究性课堂上,老师给出函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题:
①函数f(x)的值域为(-
1
2
1
2
)

②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
③若规定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 则 fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立.
你认为上述三个命题中正确的是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案