Question

14．已知抛物线y=4x²，过点P（0，2）作直线l，交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，
（Ⅰ）求证：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$为定值；
（Ⅱ）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设过点P（0，2）的直线l：y=kx+2，联立直线与抛物线方程，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，求解$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$为定值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用弦长公式以及原点到直线l的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，表示三角形的面积，然后求解最小值即可．

解答 证明：（Ⅰ）设过点P（0，2）的直线l：y=kx+2，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=4{x^2}}\end{array}}\right.$得，4x²-kx-2=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴${x_1}+{x_2}=\frac{k}{4}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}$，y₁y₂=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$为定值．------（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$|AB|=|{x_1}-{x_2}|\sqrt{1+{k^2}}=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}\sqrt{1+{k^2}}$=$\frac{1}{4}\sqrt{{k^2}+1}\sqrt{32+{k^2}}$，
原点到直线l的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|AB|×d=4\sqrt{{k^2}+2}≥\sqrt{2}$
当k=0时，三角形AOB的面积最小，最小值是$\sqrt{2}$------（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想以及计算能力．