Question

已知函数f(x)=log2

a•2x+2

2x+b

（a，b∈R）的图象过点（1，2），它的反函数的图象也过点（1，2）．
（1）求实数a，b的值，并求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性（不必证明），并解不等式f（2x-1）＞1．

Answer 1

分析：（1）直接根据原函数与反函数之间的关系得到函数f（x）过点（1，2）和（2，1），得到关于a，b的两个等式，解方程即可求出a，b的值；再结合真数大于0求出其定义域，利用分离常数法求出真数的范围即可求出其值域．
（2）直接根据函数f（x）过点（1，2）和（2，1），得到其在（0，+∞）上为减函数；再结合f（2）=1把不等式转化为f（2x-1）＞f（2）即可求出不等式的解集．

解答：解：（1）依题意，函数f（x）过点（1，2）和（2，1），
则

log2 2a+2 2+b =2 log2 4a+2 4+b =1

⇒

2a-4b=6 4a-2b=6

⇒

a=1 b=-1

…（3分）
所以f(x)=log2

2x+2

2x-1

…（4分）
由

2x+2

2x-1

＞0⇒2x-1＞0⇒2x＞1⇒x＞0，
∴f（x）的定义域为：（0，+∞）．…（6分）
令t=

2x+2

2x-1

=1+

3

2x-1

，
∵x＞0
∴t＞1，f（x）=log₂t＞0
∴f（x）的值域为：（0，+∞）…（8分）
（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（9分）
∵函数f（x）过点（2，1），
∴f（2）=1，
则f（2x-1）＞1=f（2）
∴

2x-1＞0 2x-1＜2

⇒

1

2

＜x＜

3

2

即不等式f（2x-1）＞1的解集为(

1

2

，

3

2

)．…（14分）

点评：本题主要考查对数函数的性质以及原函数与反函数之间的关系．对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的综合运用．