Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）  若函数y=f（x）的图象在点（1，2）处的切线的斜率等于1，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，试讨论|k|≤1成立的充要条件．
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：-

3

＜a＜

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）  求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系求a，b即可．
（Ⅱ）求函数的导数，利用切线斜率k的取值，讨论|k|≤1成立的充要条件．
（Ⅲ）根据导数的几何意义证明不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+b，
∴f'（x）=-3x²+2ax．
∵函数y=f（x）的图象在点（1，2）处的切线的斜率等于1
∴f（1）=2，f'（1）=1，
即a+b-1=2且2a-3=1，
解得a=2，b=1，
∴f（x）=-x³+2x²+1．
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，k=f'（x）=-3x²+2ax，
要使|k|≤1成立，
即|-3x²+2ax|≤1成立，
∴-1≤-3x²+2ax≤1成立．
当x=0时，|0|≤1恒成立．
当x∈（0，1]，不等式等价为3x²-1≤2ax≤3x²+1，
即

3x2-1

2x

≤a≤

3x2+1

2x

成立．
即(

3x2-1

2x

)max≤a≤(

3x2+1

2x

)min，
即1≤a≤

3

成立．
（Ⅲ）证：设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点为P₂（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且x₁≠x₂，
则

y1-y2

x1-x2

＜1，
即有 

- x 3 1 +a x 2 1 + x 3 2 -a x 2 2

x1-x2

＜1，
?-

x

2 1

-x1x2-

x

2 2

+a(x1+x2)＜1，
?-

x

2 1

+(a-x2)x1-

x

2 2

+ax2-1＜0，
∵x₁∈R，
∴△=(a-x2)2+4(-

x

2 2

+ax2-1)x1＜0，
即 -3

x

2 2

+2ax2+a2-4＜0，
-3(x2-

a

3

)2+

4

3

(a2-3)＜0．
于是必有a²-3＜0，
故-

3

＜a＜

3

成立．

点评：本题主要考查导数研究函数的性质，考查学生运算能力，综合性较强，运算量较大．