Question

要制作一个容积为96πm³的圆柱形水池（无盖），已知池底的造价为30元/m²，水池侧面造价为20元/m²．如果不计其他费用，欲使建造的成本最低，则池底的半径应为

4

   米．

Answer 1

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底半径为r，池高为h，成本为y，建立函数关系式，然后利用导数研究函数的最值即可求出所求．

解答：解′：设池底半径为r，池高为h，成本为y，则：
96π=πr²h⇒h=

96

r2

　
y=30πr²+20×2πrh=10πr（3r+4h）=30π（ r2+

128

r

） 
y′=30π（2r-

128

r2

）　　　　　　　　　
令y′=30π（2r-

128

r2

）=0，得r=4，h=6 
又r＜4时，y′＜0，y=30π（ r2+

128

r

）是减函数；　
r＞4时，y′＞0，y=30π（ r2+

128

r

）是增函数；　
所以r=4时，y=30π（ r2+

128

r

）的值最小，最小值为1440π
故答案为：4．

点评：本题以实际问题为载体，考查建立数学模型的能力及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．