Question

（本小题满分14分）已知函数

   （1）若在的图象上横坐标为的点处存在垂直于y 轴的切线，求a 的值；

   （2）若在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a 取值范围；

   （3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m 的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1） ；   （2）a的取值范围为

（3）存在的图象恰有三个交点

【解析】本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根与函数的零点间的转化．还考查了计算能力和综合运用知识的能力．

（1）先求出函数的导数，再由f′（ ）=0求解a．

（2）将“f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点”转化为“方程f′（x）=0在区间（-2，3）内有两个不同的实根”，用△＞0求解．

（3）在（1）的条件下，a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点”即为“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x²-4x+1-m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．

解：（1）依题意，

                  

    …………………………3分

   （2）若在区间（—2，3）内有两个不同的极值点，

    则方程在区间（—2，3）内有两个不同的实根，

   

    但a=0时，无极值点，

    ∴a的取值范围为

   （3）在（1）的条件下，a=1，要使函数的图象恰有三个交点，等价于方程，

    即方程恰有三个不同的实根。

    =0是一个根，

    应使方程有两个非零的不等实根，

    由      存在的图象恰有三个交点