Question

【题目】已知点 及圆 .
（1）设过点 的直线 与圆 交于 两点，当 时，求以线段 为直径的圆 的方程；
（2）设直线 与圆 交于 两点，是否存在实数 ，使得过点 的直线 垂直平分弦 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由于圆 的圆心 ，半径为 ， ，而弦心距 ，
所以 ，所以 为 的中点，所以所求圆的圆心坐标为 ，半径为 ，
故以 为直径的圆 的方程为：
（2）解：把直线 及 代入圆 的方程，消去 ，整理得：
，由于直线 交圆 于 ， 两点，故 ，即 ，解得 ．则实数 的取值范围是 ．
设符合条件的实数 存在，由于 垂直平分弦 ，故圆心 必在直线 上，所以 的斜率 ，所以 ，由于 ，故不存在实数 ，使得过点 的直线 垂直平分弦 ．
【解析】(1)首先根据题意求出圆的半径和圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式求出弦心距由题意可知P 为 M N 的中点，所以可求出圆的圆心坐标和 半径为的值，进而得到圆的方程。(2)根据题意联立直线和圆的方程消元整理得到关于x的方程。由题意直线和圆由两个交点故该方程的Δ>0进而求出a的取值范围，假设a存在结合 l2 垂直平分弦 A B ，故圆心 C ( 3 , 2 ) 必在直线 l 2 上，求出l2的斜率进而得到直线AB的斜率即a的值，该值不在a的取值范围内所以满足条件的a的值是不存在的。