Question

5．已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f（x）=x²-x+b，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）设P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）由于函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f（x）=x²-x+b，可得b=0．于是f（x）=x²-x，可得S_n=n²-n．利用递推式即可得出．
（II）数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，可得b_n=n•3^2n-2=n•9^n-1．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
（III）可得a_n=2n-2，a_3n-2=6n-6，同理可得a_2n+8=4n+14．再利用等差数列的前n项和公式可得：P_n与Q_n，作差即可比较出大小关系．

解答 解：（I）∵函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f（x）=x²-x+b，
∴b=0．
∴f（x）=x²-x，
∵数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*），
∴S_n=n²-n．
当n=1时，a₁=S₁=1-1=0；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
当n=1时，上式成立．
∴a_n=2n-2．
（II）数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，
∴2n-2+log₃n=log₃b_n，
∴b_n=n•3^2n-2=n•9^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+2×9+3×9²+…+n•9^n-1，
9T_n=9+2×9²+3×9³+…+（n-1）×9^n-1+n•9ⁿ，
∴-8T_n=1+9+9²+…+9^n-1-n•9ⁿ=$\frac{{9}^{n}-1}{9-1}$-n•9ⁿ=$\frac{（1-8n）×{9}^{n}-1}{8}$，
∴T_n=$\frac{（8n-1）×{9}^{n}+1}{64}$．
（III）∵a_n=2n-2，
∴a_3n-2=2（3n-2）-2=6n-6．
∴数列{a_3n-2}是等差数列，首项为0，公差为6．
∴P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2=$\frac{n（0+6n-6）}{2}$=3n²-3n．
同理数列{a_2n+8}是等差数列，a_2n+8=4n+14．
∴Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8=$\frac{n（18+4n+14）}{2}$=2n²+16n．
∴P_n-Q_n=（3n²-3n）-（2n²+16n）=n²-19n=n（n-19）．
∴n≤19，P_n≤Q_n；
当n＞19时，P_n＞Q_n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、两数大小比较，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．