Question

20．椭圆若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为$\sqrt{2}-1$，求椭圆的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1或\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$．

Answer 1

分析 由题意推出椭圆的关系，b=c，利用焦点到同侧长轴端点距离为$\sqrt{2}-1$，求出a，b，即可求出椭圆的方程．

解答 解：因为椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，
所以b=c，a=$\sqrt{2}$b，又焦点到同侧长轴端点距离为$\sqrt{2}-1$，
即a-c=$\sqrt{2}-1$，即a-b=$\sqrt{2}-1$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
所以当焦点在x轴时，椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
当焦点在y轴时，椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1．
故答案为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1或\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的基本性质，考查计算能力，属于中档题．