Question

11．函数f（t）=${∫}_{0}^{t}$（$\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π）dx（t＞0）在（1，3）上的单调性是（　　）

• A． 先递减后递增
• B． 先递增后递减
• C． 单调递增
• D． 单调递减

Answer 1

分析 由定积分求出$f（t）=\frac{π}{4}{t}^{2}-πt$，由此利用导数性质求出函数f（t）=${∫}_{0}^{t}$（$\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π）dx（t＞0）在（1，3）上的单调性是先递减后递增．

解答 解：∵f（t）=${∫}_{0}^{t}$（$\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π）dx（t＞0）
=${∫}_{0}^{t}\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}dx-π{∫}_{0}^{t}dx$
=${∫}_{0}^{t}{t}^{2}\sqrt{1-（\frac{x}{t}）^{2}}d（\frac{x}{t}）-πt$，
设$\frac{x}{t}=sinθ$，
则${∫}_{0}^{t}{t}^{2}\sqrt{1-（\frac{x}{t}）^{2}}d（\frac{x}{t}）$
=t²${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}co{s}^{2}θdθ$
=${t}^{2}{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（\frac{cosθ}{2}+\frac{1}{2}）dθ$
=${t}^{2}{∫}_{0}^{π}\frac{1}{4}dsinθ+\frac{1}{2}{t}^{2}{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}dθ$
=$\frac{π}{4}{t}^{2}$，
∴$f（t）=\frac{π}{4}{t}^{2}-πt$，${f}^{'}（t）=\frac{π}{2}t-π$，
t∈（1，2）时，f′（t）0，
∴函数f（t）=${∫}_{0}^{t}$（$\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π）dx（t＞0）在（1，3）上的单调性是先递减后递增．
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性质的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意定积分和导数性质的合理运用．