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    【题目】某校高三年级举行了一次全年级的大型考试,在数学成绩优秀和非优秀的学生中,物理、化学、总分成绩也为优秀的人数如下表所示,则我们能以99%的把握认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系吗?

    物理优秀

    化学优秀

    总分优秀

    数学优秀

    228

    225

    267

    数学非优秀

    143

    156

    99

    注:该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人,非优秀的有880人.

    【答案】见解析

    【解析】分析：利用独立性检验分别计算，再判断我们是否能以99%的把握认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系.

    详解：(1)根据已知数据列出数学与物理成绩的2×2列联表如下表所示:

    物理优秀

    物理非优秀

    合计

    数学优秀

    228

    b

    360

    数学非优秀

    143

    d

    880

    合计

    371

    b+d

    1 240

    则b=360-228=132,d=880-143=737,b+d=132+737=869.代入公式可得

    270.114.

    (2)按照上述方法列出数学与化学成绩的2×2列联表如下表所示:

    化学优秀

    化学非优秀

    合计

    数学优秀

    225

    135

    360

    数学非优秀

    156

    724

    880

    合计

    381

    859

    1 240

    代入公式可得

    240.611.

    (3)列出数学与总分成绩的2×2列联表如下表所示:

    总分优秀

    总分非优秀

    合计

    数学优秀

    267

    93

    360

    数学非优秀

    99

    781

    880

    合计

    366

    874

    1 240

    代入公式可得486.123.

    由于计算出的χ2的观测值都大于6.635,因此说明有99%的把握认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系.

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    甲

    8

    9

    7

    9

    7

    6

    10

    10

    8

    6

    乙

    10

    9

    8

    6

    8

    7

    9

    7

    8

    8

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    ②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；

    ③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；

    ④直线BQ与AP所成角的最大值为；

    其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）

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