Question

10．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（3）若对任意的t∈（1，4），不等式$f（4-k\sqrt{t}）+f（t）＞0$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是定义域为R的奇函数，从而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，带入解析式便可解出a=2，b=1；
（2）先分离常数得到$f（x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$，可根据单调性的定义判断该函数的单调性，
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数；
∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+b}{2+a}=0}\\{\frac{-\frac{1}{2}+b}{1+a}=-\frac{-2+b}{4+a}}\end{array}\right.$；
解得b=1，a=2；
即$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$；
（2）f（x）在R上单调递减．
$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{2（{2}^{x}+1）}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递减．
（3）若对任意的t∈（1，4），不等式$f（4-k\sqrt{t}）+f（t）＞0$恒成立，
即f（t）＞-f（4-k$\sqrt{t}$），
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（t）＞-f（4-k$\sqrt{t}$）=f（k$\sqrt{t}$-4），
∵函数f（x）为减函数，
∴t＜k$\sqrt{t}$-4，
即k$\sqrt{t}$＞4+t，
则k＞$\frac{4+t}{\sqrt{t}}$=$\frac{4}{\sqrt{t}}$+$\sqrt{t}$，
∵t∈（1，4），∴$\sqrt{t}$∈（1，2），
设x=$\sqrt{t}$，
则x∈（1，2），
则g（x）=x+$\frac{4}{x}$在（1，2）上为减函数，
则g（2）＜g（x）＜g（1），
即4＜g（x）＜5，即k≥5．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用参数分离法结合函数单调性的性质是解决本题的关键．