Question

【题目】已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹于， 两点，直线， 分别交直线于点， ，证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）依据题设条件及两点间距离公式建立方程分析求解；（2）依据题设条件建立直线，的方程，再运用坐标之间的关系分析探求：

试题解析：

解：（Ⅰ）设点的坐标为，因为定点在定直线：的右侧，

且动点到定直线：的距离比到定点的距离大，

所以且，

化简得，即，

轨迹的方程为．

（Ⅱ）设，（），则，，

∵，，三点共线，

∴，

∴，

又，∴，

直线的方程为，令，得．

同理可得．

所以以为直径的圆的方程为，

即．

将代入上式，可得，

令，即或，

故以为直径的圆被轴截得的弦长为定值4．