Question

 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，

点是直线上的两点，且，．

求四边形面积的最大值．

Answer 1

解：（1）依题意，设椭圆的方程为．

构成等差数列，

， ．

又，．

椭圆的方程为． …………………………………………………4分 

(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得．                 ……………………5分

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，

化简得：．                          

设，，     …………………………8分

（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，

，       

，……10分

，当时，，，．

当时，四边形是矩形，．   

所以四边形面积的最大值为．    …………………………12分

（法二），

．

．

四边形的面积，   ………10分                       

                                                  ．    …………………………………………12分

当且仅当时，，故．

所以四边形的面积的最大值为．