Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：过椭圆的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，可取M（c，

b2

a

）．又以MN为直径的圆恰好过左焦点，可得

b2

a

=2c，再利用b²=a²-c²，e=

c

a

即可得出．

解答： 解：∵过椭圆的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，
∴可取M（c，

b2

a

）．
又以MN为直径的圆恰好过左焦点，∴

b2

a

=2c，
化为a²-c²=2ac，∴e²+2e-1=0，e＞0．
解得e=

-2+2 2

2

=

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质，属于基础题．