Question

已知抛物线的方程为y²=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k．若直线l与抛物线有公共点，则k的取值范围是

-1≤k≤

1

2

．

Answer 1

分析：设出直线方程代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），再分类讨论：
（1）直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根；
（2）直线与抛物线有2个公共点?（*）有两个根．最后综合即得．

解答：解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=

1

2

或k=-1．
可得，k=

1

2

或k=-1或k=0；
（2）由题意，得2k²+k-1＜0，
∴-1＜k＜

1

2

，且k≠0．
综上可得，则k的取值范围是 -1≤k≤

1

2

．
故答案为：-1≤k≤

1

2

．

点评：本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．