Question

直四棱柱的底面是菱形，，其侧面展开图是边长为的正方形.、分别是侧棱、上的动点，．

(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)在棱上，且，若∥平面，求.

Answer 1

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)2

本题考查了线线、线面的垂直和平行的定理应用，如何实现线线和线面垂直和平行的转化；求多面体体积时常用分割法求，注意几何体的高．
（1）由题意知AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD得BD⊥平面AA₁C₁C，再证BD⊥EF；
（2）由EF∥平面PBD得EF∥PO，再由题意构造中位线得QC∥PO，证出EFCQ为平行四边形再由题意求CF；
解：⑴连接，因为是菱形，所以，
因为是直四棱柱，，，所以，因为， 所以，
因为， 所以……6分．
⑵ 连AC交BD与O，因为平面，所以EF//PO 取中点，则，所以，所以为平行四边形，
则，从而…12分