Question

在抛物线y=x²+ax-5（a≠0）上取横坐标为x₁=-4，x₂=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x²+5y²=36相切，则抛物线顶点的坐标为

 

．

Answer 1

分析：求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．

解答：解：两点坐标为（-4，11-4a）；（2，2a-1）
两点连线的斜率k=

11-4a-2a+1

-4-2

，
对于y=x²+ax-5
y′=2x+a
∴2x+a=a-2解得x=-1
在抛物线上的切点为（-1，-a-4）
切线方程为（a-2）x-y-6=0
直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径

6

(a-2)2+1

=

36 5

解得a=4或0（0舍去）
抛物线方程为y=x²+4x-5顶点坐标为（-2，-9）．
故答案是（-2，-9）．

点评：本题考查了两点斜率坐标公式，考查了导数在切点处的值为切线的斜率，考查了直线与圆相切的条件，计算要细心．