Question

19．已知函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}-ax+3}）$，若函数的定义域为R，则a∈$（{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$；若f（x）的值域为R，则a∈$（{-∞，-2\sqrt{3}}]∪[{2\sqrt{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 由对数的真数大于零和题意得：x²-ax+3＞0对任意x∈R都成立，则△＜0，再求出实数a的取值范围；函数f（x）的值域为R，说明对数的真数取到所有的正数，可得△≥0，求出实数a的取值范围；

解答 解：由题意得，x²-ax+3＞0对任意x∈R都成立，
则△=a²-12＜0，解得-2$\sqrt{3}$＜a＜2$\sqrt{3}$，
所以a的取值范围是（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；
要使函数的值域是R，只要△=a²-4≥0，得a≤-2$\sqrt{3}$或a≥2$\sqrt{3}$，
所以a的取值范围（-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）；
故答案为：$（{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$；$（{-∞，-2\sqrt{3}}]∪[{2\sqrt{3}，+∞}）$

点评 本题考查对数函数的性质，掌握对数函数的性质及一元二次函数的性质是解决本题的关键．