Question

已知复数z=bi（b∈R），

z-2

1+i

是实数，i是虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若复数（m+z）²所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由z=bi（b∈R），化简

z-2

1+i

=

bi-2

1+i

为

b-2

2

+

b+2

2

i．根据

z-2

1+i

是实数，可得

b+2

2

=0，求得 b的值，可得z的值．
（2）化简 （m+z）²为 （m²-4）-4mi，根据复数f（4）所表示的点在第一象限，可得

m2-4＞0 -4m＞0

，解不等式组求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵z=bi（b∈R），∴

z-2

1+i

=

bi-2

1+i

=

(bi-2)(1-i)

(1+i)(1-i)

=

(b-2)+(b+2)i

2

=

b-2

2

+

b+2

2

i．
又∵

z-2

1+i

是实数，∴

b+2

2

=0，
∴b=-2，即z=-2i．
（2）∵z=-2i，m∈R，∴（m+z）²=（m-2i）²=m²-4mi+4i²=（m²-4）-4mi，
又∵复数f（4）所表示的点在第一象限，∴

m2-4＞0 -4m＞0

，…（10分）
解得m＜-2，即m∈（-∞，-2）时，复数f（4）所表示的点在第一象限．

点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．