Question

【题目】已知函数 在 上单调递增,
（1）若函数 有实数零点，求满足条件的实数 的集合 ；
（2）若对于任意的 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 级 单调递增区间是 ，因为 在 上单调递增，所以 ；
令 ，则
函数 有实数零点，即： 在 上有零点，只需：
方法一 解得
方法二 解得
综上： ，即
（2）解： 化简得
因为对于任意的 时，不等式 恒成立，
即对于 不等式 恒成立，
设 （ ）
法一
当 时，即 不符合题意
当 时，即 ，只需
得 从而
当 ，即 ，只需
得 或 ，与 矛盾
法二 得
综上知满足条件的 的范围为
【解析】(1)首先根据二次函数对称轴的位置关系结合函数的增减性得到a的取值范围利用整体思想令 2x = t ( t > 0 )把原函数转化为f ( t ) = t 2 2 a t + 1 t > 0在 ( 0 , + ∞ ) 上有零点即在 ( 0 , + ∞ ) 上有根，结合二次函数图像的性质限制Δ≥0，a>0，f(0)>0得到关于a的不等式组解出即可。(2)结合(1)的结果整理化简不等式转化为当 1 ≤ a ≤ 2 不等式 ( 2x+1 1 ) a + 2 2x 2 > 0 恒成立，由整体思想构造函数 g(x) 关于2x 的二次函数当 1 ≤ a ≤ 2恒成立的问题，结合二次函数在指定区间上的最值问题解出x的取值范围即可。
【考点精析】认真审题，首先需要了解复合函数单调性的判断方法(复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”)，还要掌握二次函数在闭区间上的最值(当时，当时，；当时在上递减，当时，)的相关知识才是答题的关键．