Question

9．已知f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+2）
（1）写出当a=3时，f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（2，+∞）上单凋递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-3x+2），令t=x²-3x+2，则y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t，结合二次函数和对数函数的单调性，及复合函数“同增异减”的原则，可得f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（2，+∞）上单凋递减，则t=x²-ax+2在（2，+∞）上单凋递增，且恒为正，进而得到答案．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-3x+2），
由x²-3x+2＞0得：x∈（-∞，1）∪（2，+∞），
令t=x²-3x+2，则y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t，
∵t=x²-3x+2在（-∞，1）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，
故f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+2）的单调递增区间为（-∞，1），单调递减区间为（2，+∞）；
（2）函数f（x）在（2，+∞）上单凋递减，
则t=x²-ax+2在（2，+∞）上单凋递增，且恒为正，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}≤2\\ 6-2a≥0\end{array}\right.$，解得：a∈（-∞，3]．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，复合函数的单调性，难度中档．