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【题目】设函数f(x)=(1﹣x2)ex
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)因为f(x)=(1﹣x2)ex , x∈R,
所以f′(x)=(1﹣2x﹣x2)ex
令f′(x)=0可知x=﹣1±
当x<﹣1﹣ 或x>﹣1+ 时f′(x)<0,当﹣1﹣ <x<﹣1+ 时f′(x)>0,
所以f(x)在(﹣∞,﹣1﹣ ),(﹣1+ ,+∞)上单调递减,在(﹣1﹣ ,﹣1+ )上单调递增;
(Ⅱ)由题可知f(x)=(1﹣x)(1+x)ex . 下面对a的范围进行讨论:
①当a≥1时,设函数h(x)=(1﹣x)ex , 则h′(x)=﹣xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,
又因为h(0)=1,所以h(x)≤1,
所以f(x)=(1﹣x)h(x)≤x+1≤ax+1;
②当0<a<1时,设函数g(x)=ex﹣x﹣1,则g′(x)=ex﹣1>0(x>0),
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,
又g(0)=1﹣0﹣1=0,
所以ex≥x+1.
因为当0<x<1时f(x)>(1﹣x)(1+x)2
所以(1﹣x)(1+x)2﹣ax﹣1=x(1﹣a﹣x﹣x2),
取x0= ∈(0,1),则(1﹣x0)(1+x02﹣ax0﹣1=0,
所以f(x0)>ax0+1,矛盾;
③当a≤0时,取x0= ∈(0,1),则f(x0)>(1﹣x0)(1+x02=1≥ax0+1,矛盾;
综上所述,a的取值范围是[1,+∞).
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,求出极值点,利用导函数的符号,判断函数的单调性即可.
(Ⅱ)化简f(x)=(1﹣x)(1+x)ex . f(x)≤ax+1,下面对a的范围进行讨论:
①当a≥1时,②当0<a<1时,设函数g(x)=ex﹣x﹣1,则g′(x)=ex﹣1>0(x>0),推出结论;③当a≤0时,推出结果,然后得到a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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(Ⅱ)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量<50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

(Ⅲ)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行比较.
附:

P(K2≥K)

0.050

0.010

0.001

K

3.841

6.635

10.828

K2=

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