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已知集合M={f（x）|y=f（x）}，其元素f（x）须同时满足下列三个条件：
①定义域为（-1，1）；
②对于任意的x，y∈（-1，1），均有 $数学公式$ ；
③当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）∈M，证明：y=f（x）在定义域上为奇函数；
（Ⅱ）若函数 $数学公式$ ，判断是否有h（x）∈M，说明理由；
（Ⅲ）若f（x）∈M且 $数学公式$ ，求函数 $数学公式$ 的所有零点．

证明：（I）若函数f（x）∈M，
则函数的定义域为（-1，1），关于原点对称
令x=y=O，则由 $\text{[math]}$ 得f（0）+f（0）=f（0）
即f（0）=0
令y=-x
则f（x）+f（-x）=f（0）=0
即y=f（x）在定义域上为奇函数；
（Ⅱ）h（x）∈M，理由如下：
函数 $\text{[math]}$ 的定义域为（-1，1），满足条件①
且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故h（x）+h（y）= $\text{[math]}$ ，满足条件②
当-1＜x＜0时， $\text{[math]}$ ，此时h（x）＞0，满足条件③
故h（x）∈M
（III）令-1＜x＜y＜1，则x-y＜0，1-xy＞0，则 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 及（1）可得 $\text{[math]}$
又∵当x＜0时，f（x）＞0
∴ $\text{[math]}$ ＞0
即f（x）＞f（y）
故f（x）在区间（-1，1）上为减函数，故函数至多有一个零点
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
又∵当x=y=2- $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ =0
故函数 $\text{[math]}$ 的零点为2- $\text{[math]}$
分析：（I）令x=y=O，由已知可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，进而根据奇函数的定义可得y=f（x）在定义域上为奇函数；
（Ⅱ）根据函数的解析式 $\text{[math]}$ ，求出函数的定义域，并验证条件①②③是否成立，进而根据集合M的定义判断h（x）∈M是否成立；
（III）根据已知分析函数的单调性，结合单调函数的图象和性质可以分析出函数在定义域上至多有一个零点，结合 $\text{[math]}$ 可求出该零点．
点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，同时又有一个比较难理解的新定义集合M，且（III）中函数零点的求法难度也比较大．

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8、已知集合M={f（x）|f（-x）=f（x），x∈R}；N={f（x）|f（-x）=-f（x），x∈R}；P={f（x）|f（1-x）=f（1+x），x∈R}；Q={f（x）|f（1-x）=-f（1+x），x∈R}；若f（x）=（x-1）³，x∈R，则下列关系中正确的序列号为：

④

①f（x）∈M②f（x）∈N③f（x）∈P④f（x）∈Q

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已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命题：
①若f1(x)=

1，x≥0

-1，x＜0

则f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=sinx，则f₂（x）∈M；
③若f（x）∈M，y=f（x）的图象关于原点对称；
④若f（x）∈M，则对任意不等的实数x₁、x₂，总有

f1(x)-f2(x)

x1-x2

＜0；
⑤若f（x）∈M，则对任意的实数x₁、x₂，总有f(

x1+x2

)≤

f1(x)+f2(x)

．
其中是正确的命题有

．（写出所有正确命题的编号）

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（2013•南充三模）已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命题
①若f₁（x）=

1，x≥0

-1，x＜0

则f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=2x，则f₂（x）∈M；
③若f₃（x）∈M，则y=f₃（x）的图象关于原点对称；
④若f₄（x）∈M则对于任意不等的实数x₁，x₂，总有

f4(x1)-f4(x2)

x1-x2

＜0成立．
其中所有正确命题的序号是

②③

．

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已知集合M={f（x）|在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立}．
（1）函数f（x）=

是否属于集合M？说明理由．
（2）证明：函数f（x）=2^x+x²∈M．
（3）设函数f（x）=lg

2x+1

∈M，求实数a的取值范围．

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（2007•上海模拟）已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin

πx

．
（1）判断g（x）与M的关系，并说明理由；
（2）M中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；
（3）M中的元素是否都是奇函数，证明你的结论．

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