Question

【题目】已知椭圆 =1的一个焦点为F（2，0），且离心率为
（1）求椭圆方程；
（2）过点M（3，0）作直线与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意有c=2， = ，又a2=b2+c2，

可得a2=6，b2=2．

故椭圆方程为 =1．

（2）解：由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线方程为y=k（x﹣3）．

联立方程组 ，消去x得（1+3k2）y2+6ky+3k2=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

∴S△OAB= |OM||y1﹣y2|= ×3×

= 3 =3 =3 ，

令3k2+1=t≥1，则S△OAB=3 =3 ≤ ，当且仅当t= ，即k2= ，k= 时取等号．

∴△OAB面积的最大值为 ．

【解析】（1）依题意有c=2， = ，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线方程为y=k（x﹣3）．与椭圆方程联立可得（1+3k2）y2+6ky+3k2=0，利用根与系数的关系可得：S△OAB= |OM||y1﹣2|=3 =3 ，令3k2+1=t≥1，可得S△OAB=3 =3 ，利用二次函数的单调性即可得出．