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定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，总有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x³-3x²图象的对称中心的横坐标为1，则可求得 f（0）+f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+f（1）+f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+f（2）=________．

解：∵已知函数f（x）=x³-3x²图象的对称中心的横坐标为1，
∴若取x₁=0，则x₂=2×1-0=2，
∴2b=f（0）+f（2）=0+2³-3×2²=-4，
∴此函数的对称中心为（1，-2）此点在函数图象上．
∴f（0）+f（2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =f（1）+f（1）=-4，因此可得 f（0）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（1）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（2）=3×（-4）-2=-14．
故答案为-14．
分析：由题意先求出函数的对称中心，进而利用函数图象的对称中心的意义即可求出．
点评：正确理解函数图象的对称中心的意义是解题的关键．

练习册系列答案

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科目：高中数学 来源： 题型：

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（Ⅰ）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅲ）判断函数f(x)=

(x＞0)是否为闭函数？并说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，总有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x³-3x²图象的对称中心的横坐标为1，则可求得 f（0）+f（

）+f（

）+f（1）+f（

）+f（

）+f（2）=

-14

．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知定义域为D的函数y=f（x），若对于任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立，那么称函数y=f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=2sin（x+

）；
③f（x）=x³-2x²+x；
④f（x）=

x2+x+1

，
其中是“倍约束函数”的是

①④

．（将你认为正确的函数序号都填上）

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科目：高中数学 来源： 题型：

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=

（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2012•泉州模拟）定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，总有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x³-3x²图象的对称中心的横坐标为1，则可求得：f(

2012

)+f(

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

-8046

．

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