Question

已知{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n}是等比数列，其中a₁=b₁=1，a₄=7，a₅=b₂，且存在常数α，β使得对每一个正整数n都有a_n=log_αb_n+β，则α+β=

4

．

Answer 1

分析：首先利用等差数列的通项公式以及已知条件求出d=2，再由a₅=b₂ 求出公比q，即可求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式，再根据a_n=log_αb_n+β得出 2n-1=logα 9 n-1+β．令n=1可得
β=1，再令n=2可得α=3，由此求得 α+β 的值．

解答：解：设公差为d，公比为q，由题意可得 a₄=7=a₁+3d，解得 d=2．
∴a₅=b₂ =a₁+4d=9=1×q，即 q=9．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，b_n=1×9^n-1=9^n-1．再由a_n=log_αb_n+β，可得 2n-1=logα 9 n-1+β．
令n=1可得 β=1，
令n=2可得log_α9=2，解得α=3，
∴α+β=4，
故答案为 4．

点评：本题考查了对数的运算性质、等差数列和等比数列的性质，根据条件求出d、和q的值，是解题的关键，属于中档题．