Question

【题目】已知圆心为C的圆经过O（0，0））和A（4，0）两点，线段OA的垂直平分线和圆C交于M，N两点，且|MN|=2
（1）求圆C的方程
（2）设点P在圆C上，试问使△POA的面积等于2的点P共有几个？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：OA的中点坐标为（2，0）．则直线MN的方程为x=2，

设圆心C （2，b），

又∵直径|MN|=2 ，∴|CO|= ，∴（2﹣0）2+b2=5．

解得b=1或﹣1

∴圆心C （2，1）或C（2，﹣1）．

∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x﹣2）2+（y+1）2=5．

（2）解：|OA|=4， ，∴h=1，

∴点P到直线OA的距离为1

又因为圆心C到直线OA的距离为1

圆心的半径为 ，而

所以，圆C上共有四个点P使△POA的面积为2

【解析】（1）求出圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）求出圆心C到直线OA的距离为1，点P到直线OA的距离为1，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与圆的三种位置关系的相关知识，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．