Question

8．已知函数f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）-k在$[0，\frac{π}{6}]$上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得它的最小正周期．
（Ⅱ）利用正弦函数的减区间求得函数f（x）的递减区间．
（Ⅲ）由条件利用f（x）的单调性求得函数g（x）=f（x）-k在$[0，\frac{π}{6}]$上有两个不同的零点时k的范围．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=sin2x+\sqrt{3}cos2x=2（\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
可得f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z）$，求得$kπ+\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{7π}{12}（k∈Z）$，
所以函数f（x）的递减区间为$[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]（k∈Z）$．
（Ⅲ）由$x∈[{0，\frac{π}{6}}]$，得$2x+\frac{π}{3}∈$$[{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
而函数f（x）在$[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]$上单调递增，$f（x）∈[\sqrt{3}，2]$；在$（{\frac{π}{2}}\right.，\left.{\frac{2π}{3}}]$上单调递减，$f（x）∈[\sqrt{3}，2）$，
所以若函数g（x）=f（x）-k在$[{0，\frac{π}{6}}]$上有两个不同的零点，则$k∈[\sqrt{3}，2）$．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，单调性，周期性，属于基础题．