分析 (Ⅰ)由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式,再根据正弦函数的周期性求得它的最小正周期.
(Ⅱ)利用正弦函数的减区间求得函数f(x)的递减区间.
(Ⅲ)由条件利用f(x)的单调性求得函数g(x)=f(x)-k在$[0,\frac{π}{6}]$上有两个不同的零点时k的范围.
解答 解:(Ⅰ)由$f(x)=sin2x+\sqrt{3}cos2x=2(\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x)=2sin(2x+\frac{π}{3})$,
可得f(x)的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π.
(Ⅱ)由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}(k∈Z)$,求得$kπ+\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{7π}{12}(k∈Z)$,
所以函数f(x)的递减区间为$[kπ+\frac{π}{12},kπ+\frac{7π}{12}](k∈Z)$.
(Ⅲ)由$x∈[{0,\frac{π}{6}}]$,得$2x+\frac{π}{3}∈$$[{\frac{π}{3},\frac{2π}{3}}]$,
而函数f(x)在$[{\frac{π}{3},\frac{π}{2}}]$上单调递增,$f(x)∈[\sqrt{3},2]$;在$({\frac{π}{2}}\right.,\left.{\frac{2π}{3}}]$上单调递减,$f(x)∈[\sqrt{3},2)$,
所以若函数g(x)=f(x)-k在$[{0,\frac{π}{6}}]$上有两个不同的零点,则$k∈[\sqrt{3},2)$.
点评 本题主要考查两角和的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,单调性,周期性,属于基础题.
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