Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BCC1B1，AC＝AB1．

（1）求证：平面ABC1⊥平面AB1C；

（2）若AB＝BC＝2，∠BCC1＝60°，求二面角B﹣AC1﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）．

【解析】

（1）设BC1∩B1C＝G，连结AG，推导出AB⊥B1C，从而B1C⊥平面ABC1，由此能证明平面ABC1⊥平面AB1C．

（2）以G为坐标原点，GC1为x轴，GB1为y轴，过G作平面BCC1B1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AC1﹣B1的余弦值．

证明：（1）如图，设BC1∩B1C＝G，连结AG，

∵三棱柱的侧面BCC1B1是平行四边形，

∴G是B1C的中点，

∵AC＝AB1，

∴△AB1C是等腰三角形，

∴B1C＝AG，

∵AB⊥侧面BCC1B1，且B1C平面BCC1B1，

∴AB⊥B1C，

又∵AB∩AG＝A，

∴B1C⊥平面ABC1，

又∵B1C平面AB1C，

∴平面ABC1⊥平面AB1C．

（2）由（1）知B1C⊥平面ABC1，

∴B1C⊥BC1，

以G为坐标原点，GC1为x轴，GB1为y轴，过G作平面BCC1B1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

由B1C⊥BC1，得到四边形BCC1B1是菱形，

∵AB＝BC＝2，∠BCC1＝60°，

∴GB＝GC1＝1，GC＝B1G，

则G（0，0，0），C1（1，0，0），B1（0，，0），A（﹣1，0，2），

∴（2，0，﹣2），（1，，0），

设平面AB1C1的法向量（x，y，z），

由，取x＝1，得（1，，1），

由（1）知（0，，0）是平面ABC1的法向量，

设二面角B﹣AC1﹣B1的平面角为θ，

则cosθ，

∴二面角B﹣AC1﹣B1的余弦值为．