Question

如图，已知在△ABC中，BC=2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若

BM

•

BC

=2，

CN

•

BC

=1，则∠BGC的度数为（　　）

A．135

B．120°

C．150

D．105°

Answer 1

分析：由条件求得故M在BC的中垂线上，且∠CBM=45°=∠BCM，N在BC上的投影（设为D）到C的距离为 

1

2

，利用勾股定理求得ND，可得tan∠CBN的值，从而求得∠CBN 的值．再利用三角形的内角和公式求得∠BGC的值．

解答：解：∵

BM

•

BC

=2，
∴BM•BCcos∠CBM=2即BM•cos∠CBM=1，故M在BC的中垂线上，
∴∠CBM=45°=∠BCM，
∵

CN

•

BC

=1，
∴CN•cos（180°-∠NCB）=-

1

2

，
∴N在BC上的投影（设为D）到C的距离为

1

2

，
设圆心为O，连接ON，
∴CD=OD=

1

2

，则 OD²+ND²=ON²=1，解得 ND=

3

2

，
∴tan∠CBN=

ND

BD

=

3 2

1+ 1 2

=

3

3

，
∴∠CBN=30°，
∴∠BGC=180°-∠CBN-∠BCM=180°-30°-45°=105°，
故选D．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，直角三角形中的边角关系，三角形的内角和公式，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．