Question

19．如图，某计时沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8，用一个平行于圆锥沙漏的轴的平面α截圆锥，得到的截口曲线为双曲线的一部分，且圆锥顶点P到平面α的距离为2，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意，建立直角坐标系，设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得双曲线过点（0，4），（2$\sqrt{3}$，4），求出a，b，可得c，即可得出此双曲线的离心率．

解答 解：由题意，在截面中建立直角坐标系，设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
可得双曲线过点（0，4），（2$\sqrt{3}$，4），
∴a=2，
∴$\frac{16}{4}-\frac{12}{{b}^{2}}$=1，
∴b=2，
∴c=2$\sqrt{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．