Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|，a∈R．
（I）当a=3时，求关于x的不等式f（x）≤6的解集；
（II）当x∈R时，f（x）≥a2﹣a﹣13，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）当a=3时，不等式f（x）≤6为|2x﹣3|+|2x﹣1|≤6 若 时，不等式可化为﹣（2x﹣3）﹣（2x﹣1）=﹣4x+4≤6，解得 ，
若 时，不等式可化为﹣（2x﹣3）+（2x﹣1）=2≤6，解得 ，
若 时，不等式可化为（2x﹣3）+（2x﹣1）=4x﹣4≤6，解得 ，
综上所述，关于x的不等式f（x）≤6的解集为 ．
（II）当x∈R时，f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|≥|2x﹣a+1﹣2x|=|1﹣a|，
所以当x∈R时，f（x）≥a2﹣a﹣13等价于|1﹣a|≥a2﹣a﹣13，
当a≤1时，等价于1﹣a≥a2﹣a﹣13，解得 ，
当a＞1时，等价于a﹣1≥a2﹣a﹣13，解得 ，
所以a的取值范围为
【解析】（I）分类讨论，即可求关于x的不等式f（x）≤6的解集；（II）当x∈R时，f（x）≥a2﹣a﹣13等价于|1﹣a|≥a2﹣a﹣13，分类讨论，求实数a的取值范围．