Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|+a．
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥6；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥a²对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=0时，化简函数的解析式，从而求得f（x）≥6 的解集．
（Ⅱ）根据函数的解析式求得函数的最小值是4+a，要使不等式f（x）≥a²恒成立，故有 4+a≥a²，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，求得 f(x)=

-4x+2 ， x＜- 1 2 4 ， - 1 2 ≤x≤ 3 2 4x-2 ， x＞ 3 2

，…（2分）
∴由f（x）≥6 可得 x≤-1，或x≥2，
所以，不等式的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由于函数  f(x)=

-4x+2+a ，x＜- 1 2 4+a ，- 1 2 ≤x≤ 3 2 4x-2+a ， x＞ 3 2

 的最小值是4+a，…（7分）
要使不等式f（x）≥a²恒成立，故有 4+a≥a²，解得

1- 17

2

≤a≤

1+ 17

2

．…（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．