Question

已知f(x)=lg(a^x-b^x)(常数a＞1＞b＞0).

(1)求y=f(x)的定义域.

(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴?

(3)当a,b满足什么条件时，f(x)在区间(1,+∞)上恒大于0？?

Answer 1

解析（1）由a^x-b^x＞0，得?

()^x＞1.?

∵＞1,?

∴由指数函数的性质得x＞0.?

（2）先证明f(x)是增函数,任取x₁＞x₂＞0,a＞1＞b＞0.?

由指数函数的性质得 ＞, ＜.?

∴-＞-＞0.?

∴lg(-)＞lg(-),?

即f(x₁)＞f(x₂).∴f(x)是增函数.?

假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，使直线AB平行于x轴，则x₁≠x₂,y₁=y₂,这与f(x)是增函数相矛盾.?

故y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.?

（3）∵f(x)是递增函数，?

∴当x∈(1,+∞)时，有f(x)＞f(1).??

从而只需f(1)=lg(a-b)≥0,即当a≥b+1时，??

f(x)在（1，+∞）上恒取正值.