[题目]已知椭圆的左.右焦点分别为且椭圆上存在一点.满足.(1)求椭圆的标准方程,(2)已知分别是椭圆的左.右顶点.过的直线交椭圆于两点.记直线的交点为.是否存在一条定直线.使点恒在直线上? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上?

【答案】（1）（2）存在，点在定直线上

【解析】

（1）对三角形应用余弦定理即可求得，结合椭圆定义求得，问题得解。

（2）设，，，利用及列方程，整理得：，由整理得：，从而表示出，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得：，代入上式得：，解得：，问题得解.

（1）设，则内，

由余弦定理得，

化简得，解得，

故，

∴，得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）已知，，设，，，

由，①

，②

两式相除得.

又，

故，

故，③

设的方程为，代入整理，

得，恒成立.

把代入③，

得，

得到，故点在定直线上.

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