Question

乙知圆M：(x+)²+y²=36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点O在NP上，点G在MP上，且满足

(1)求点G的轨迹C的方程；

(2)过点(2，0)作直线l,与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）为PN的中点且GQ⊥PN

GQ为PN的中垂线|PG|=|GN| 

∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3,半焦距c=,∴短半轴长b=2,∴点G的轨迹方程是 

（2）因为,所以四边形OASB为平行四边形.若存在l使得

,则四边形OASB为矩形

∴=0

若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2,

由

∴=＞0,与=0矛盾，故l的斜率存在. 

设l的方程为y=k(x-2),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

由

∴x₁+x₂=  ①

y₁y₂=[k(x₁-2)][k(x₂-2)]

=k²[x₁x₂-2(x₁+x₂)+4]=-      ② 

把①,②代入x₁x₂+y₁y₂=0得k=±

∴存在直线l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等.