Question

已知函数f（x）=sinx，将其图象上的每个点的横坐标变成原来的

1

2

，纵坐标不变，再将整个图象向左移

π

6

个单位得到y=g（x）的图象．
（1）写出g（x）的解析式，并求其对称轴方程；
（2）研究y=g(x)在x∈(-

π

3

，

π

3

)上的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据函数 y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求出 g（x）的解析式，由此求得对称轴方程．
（2）由 x∈(-

π

3

，

π

3

)，可得 2x+

π

3

∈（-

π

3

，π），由 2x+

π

3

∈（-

π

3

，

π

2

）求得x的范围，即得函数的增区间．由2x+

π

3

∈（

π

2

，π）求得x的范围，即得函数的减区间．

解答：解：（1）把函数f（x）=sinx的图象上的每个点的横坐标变成原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=sin2x 的图象，
再将整个图象向左移

π

6

个单位得到y=sin2（x+

π

6

）=sin（2x+

π

3

）的图象．
故 g（x）=sin（2x+

π

3

），由 2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，可得 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故对称轴方程为  x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z．
（2）∵x∈(-

π

3

，

π

3

)，∴2x+

π

3

∈（-

π

3

，π）．
故当 2x+

π

3

∈（-

π

3

，

π

2

）时，即 x∈（-

π

3

，

π

12

）时，函数g（x）为增函数，故函数的增区间为（-

π

3

，

π

12

）．
当 2x+

π

3

∈（

π

2

，π）时，即 x∈（

π

12

，

π

3

）时，函数g（x）为减函数，故函数的减区间为（

π

12

，

π

3

）．

点评：本题主要考查函数 y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．