Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}{b}$．
（1）求角A的大小；
（2）若b=c=1，在边AB，AC上分别取D，E两点，将△ADE沿直线DE折，使顶点A正好落在边BC上，求线段AD长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦、余弦定理，化简可得cb=b²+c²-a²，即可求角A的大小；
（2）在图（2）中连接DP，由折叠可知AD=PD，根据等边对等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP为三角形ADP的外角，若设∠BAP为θ，则有∠BDP为2θ，再设AD=PD=x，根据正弦定理建立函数关系，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的最大值，进而得出x的最小值，即为AD的最小值．

解答 解：（1）∵$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}{b}$，
∴$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2c-b}{b}$，
利用正弦、余弦定理，化简可得cb=b²+c²-a²，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°；
（2）b=c=1，A=60°，△ABC是等边三角形，显然A，P两点关于折线DE对称
连接DP，图（2）中，可得AD=PD，则有∠BAP=∠APD，
设∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
再设AD=DP=x，则有DB=1-x，
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知$\frac{1-x}{sin（120°-2θ）}=\frac{x}{sin60°}$
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（120°-2θ）+\sqrt{3}}$，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴当120°-2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°-2θ）=1．
此时x取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$-3，且∠ADE=75°．
则AD的最小值为2$\sqrt{3}$-3．

点评 此题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，正弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．