Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1(a，b∈R)在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先求出导函数，把原函数在区间[-1，3]上是减函数转化为导函数在[-1，3]上恒小于等于0，求出a，b满足的条件以及对应的平面区域即可求a+b的最小值．

解答：解：由函数f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1(a，b∈R)得：f'（x）=x²+2ax-b，
因为原函数在区间[-1，3]上是减函数就是导函数在[-1，3]上恒小于等于0即f'（x）≤0，
须

f′(-1)≤0 f′(3)≤0

?

1-2a-b≤0 9+6a-b≤0

，对应的平面区域如图由图得，
当过点A（-1，3）时，a+b有最小值此时a+b=2．
故答案为  2．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的函数值的正负之间的关系以及简单的线性规划的应用问题．知识点较多，但都比较基础，属于中档题．