Question

【题目】正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长2为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形．
（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积．
（2）求二面角V﹣BC﹣A的平面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：连结AC，BD，交于点O，连结VO，

∵正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长2为的正方形，

其他四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形，

∴AO= = = ，VO= = ，

∴正四棱锥V﹣ABCD的高VO= ，

∴正四棱锥V﹣ABCD的体积：

VV﹣ABCD= = = ．

（2）解：取BC中点E，连结OE，VE，

则OE⊥BC，VE⊥BC，∴∠VEO是二面角V﹣BC﹣A的平面角，

∵VO= OE=1，

∴tan = ，∴∠VEO=60°．

∴二面角V﹣BC﹣A的平面角的大小为60°．

【解析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结VO，求出正四棱锥V﹣ABCD的高VO= ，由此能求出正四棱锥V﹣ABCD的体积．（2）取BC中点E，连结OE，VE，则OE⊥BC，VE⊥BC，∠VEO是二面角V﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角V﹣BC﹣A的平面角的大小．