Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（1）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又∵a1=1，
∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴an+1=2n ，
∴an=﹣1+2n；
（2）由（1）可知bn=n（an+1）=n2n=n2n﹣1 ，
∴Tn=120+22+…+n2n﹣1 ，
2Tn=12+222…+（n﹣1）2n﹣1+n2n ，
错位相减得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n2n
=﹣n2n
=﹣1﹣（n﹣1）2n ，
于是Tn=1+（n﹣1）2n ．
【解析】（1）通过对an+1=2an+1变形可知an+1+1=2（an+1），进而可知数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知bn=n2n﹣1 ， 进而利用错位相减法计算即得结论．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．