Question

当n为正整数时，函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，…，设S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ-1）+N（2ⁿ），则S_n=

 

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Answer 1

分析：由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x，进而可得，奇数项的和；当x是偶数时，可利用数学归纳法推断出偶数项的和．因此由这样一个性质，我们就可将S_n进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加．

解答：解：由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x，当x是偶数时，参看下面的讨论，
因此由这样一个性质，我们就可将S_n进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即S_n=S_奇+S_偶，
∴S_奇=N（1）+N（3）+…+N（2ⁿ-1）=1+3+…2ⁿ-1=

1+2n-1

2

× 2n-1=4^n-1
当x是偶数时，且x∈[2^k，2^k+1）①当k=1时，x∈[2，4）该区间包含的偶数只有2，而N（2）=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为T₁=1
②当k=2时，x∈[4，8），该区间包含的偶数为4，6，所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为T₂=1+3=4
③当k=3时，x∈[8，16），该区间包含的偶数为8，10．，12，14，则该区间所有偶数的最大奇因数之和为T₃=1+3+5+7=16，因此我们可以用数学归纳法得出当x∈[2^k，2^k+1）该区间所有偶数的最大奇因数和T_k=4^k-1．
∴对k从1到n-1求和得T₁+T₂+…+T_n-1=

4n-1-1

3

∴S_偶=T₁+T₂+…+T_n-1+N（2ⁿ）=

4n-1+2

3

综上可知S_n=S_奇+S_偶=4^n-1+

4n-1+2

3

=

4n+2

3

故答案为

4n+2

3

点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生通过已知条件分析问题和解决问题的能力．