分析:当直线l的斜率不存在时,A点坐标为(0,2),B点坐标为(0,-2),这时
=
.当直线l斜率为k时,直线l方程为y=kx+3,设A点坐标为(x
1,y
1),B点坐标为(x
2,y
2),则向量AP=(-x
1,3-y
1),向量PB=(x
2,y
2-3),所以
=
,因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点,且它们的横坐标不同,把y=kx+3代入
+=1后的一元二次方程(9k
2+4)x
2+54k+45=0的判别式(54k)
2-4(9k
2+4)×45>0,所以k>
3或k<-
.由此入手能够求出
的范围.
解答:解:当直线l的斜率不存在时,A点坐标为(0,2),B点坐标为(0,-2),这时
=
.
当直线l斜率为k时,直线l方程为y=kx+3,
设A点坐标为(x
1,y
1),B点坐标为(x
2,y
2),则向量AP=(-x
1,3-y
1),向量PB=(x
2,y
2-3),
所以
=
,
因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点,且它们的横坐标不同,
把y=kx+3代入
+=1后的一元二次方程(9k
2+4)x
2+54k+45=0的判别式(54k)
2-4(9k
2+4)×45>0,
所以k>
3或k<-
,
设
=λ,则x
1=λx
2,
因为x
1+x
2=-
,x
1x
2=
,
所以(1+λ)x
2═-
,,(1)
λx
22=
,(2)
显然λ不等于1,解得0<λ<1.
综上所述
的范围是[
,1).
故答案为:[
,1).
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.