Question

12．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，2c²-2a²=b²
（1）求$\frac{ccosA-acosC}{b}$的值；
（2）若a=1，tanA=$\frac{1}{3}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理结合2c²-2a²=b²得到ccosA-acosC=$\frac{b}{2}$，代入$\frac{ccosA-acosC}{b}$得答案；
（2）利用正弦定理把（1）结论中边转化成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理，可求得sinCcosA
=3sinAcosC，进而求得tanC和tanA的关系，求得tanC，得到C．再由正弦定理求出边c，则三角形面积可求．

解答 解：（1）∵2c²-2a²=b²，
∴ccosA-acosC=$c•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}-a•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{2{c}^{2}-2{a}^{2}}{2b}=\frac{{b}^{2}}{2b}=\frac{b}{2}$，
∴$\frac{ccosA-acosC}{b}$=$\frac{\frac{b}{2}}{b}=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）和正弦定理以及sinB=sin（A+C），
得2sinCcosA-2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，
即sinCcosA=3sinAcosC，
又cosAcosC≠0，∴tanC=3tanA=1，故C=45°．
由tanA=$\frac{1}{3}$，得cotA=3，
∴sinA=$\frac{1}{cscA}=\frac{1}{\sqrt{1+co{t}^{2}A}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又a=1，∴$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{c}{sin45°}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得$c=\sqrt{5}$．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=1$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键是对正弦定理和余弦定理能熟练灵活的运用，是中档题．