Question

棱长为2

3

的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（　　）

• A．

  2

• B．

  2

  2

• C．

  2

  4

• D．

  2

  6

Answer 1

分析：棱长为2

3

的正四面体内切一球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，求出上面三棱锥的高，利用相似比求出上部空隙处放入一个小球，求出这球的最大半径．

解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，
由于棱长为2

3

的正四面体，故四个面的面积都是

1

2

×2

3

×2

3

sin∠60°=3

3

又顶点A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G点到底面三个顶点的距离都是高的

2

3

倍，
又高为2

3?

sin∠60°=3，故底面中心G到底面顶点的距离都是2
由此知顶点A到底面BCD的距离是

(2 3 )2-22

=2

2

此正四面体的体积是

1

3

×2

2

×3

3

=2

6

，
又此正四面体的体积是

1

3

×r×3

3

×4，故有r=

2 6

4 3

=

2

2

．
上面的三棱锥的高为

2

，原正四面体的高为2

2

，
所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为a，

a

2

=

2 2

2 2

，
∴a=

2

4

．
故选C．

点评：本题考查球的体积和表面积，用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．相似比求解球的半径是解题的关键．