Question

1．已知（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x）ⁿ展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．
（1）求展开式中含有x⁴的项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）先求出n，再利用通项公式求展开式中含有x⁴的项；
（2）展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，即可求展开式中二项式系数最大的项；
（3）展开式中第k+1项系数最大，建立不等式组，即可求展开式中系数最大的项．

解答 解：令x=1得展开式各项系数和为4ⁿ，二项式系数为$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n={2^n}$，
由题意得：4ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5…（2分）
（1）${T_{r+1}}=C_5^r{3^r}•{x^{\frac{10+r}{3}}}$
当$\frac{10+r}{3}=4⇒r=2$，∴${T_3}=C_5^2•{3^2}•{x^4}=90{x^4}$．…（4分）
（2）∵n=5，∴展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，
∴${T_3}=C_5^2•{3^2}•{x^4}=90{x^4}$，${T_4}=C_5^3•{3^3}•{x^{\frac{13}{3}}}=270{x^{\frac{13}{3}}}$…..（8分）
（3）展开式中第k+1项系数最大，
∴$\left\{\begin{array}{l}C_5^k•{3^k}≥C_5^{k-1}•{3^{k-1}}\\ C_5^k•{3^k}≥C_5^{k+1}•{3^{k+1}}\end{array}\right.⇒\frac{7}{2}≤k≤\frac{9}{2}，k∈8$，k∈N．
∴k=4，
∴${T_5}=C_5^4•{3^4}•{x^{\frac{14}{3}}}$=$405{x^{\frac{14}{3}}}$…（12分）

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．