分析 (1)先求出n,再利用通项公式求展开式中含有x4的项;
(2)展开式共6项,二项式系数最大项为第三、四项,即可求展开式中二项式系数最大的项;
(3)展开式中第k+1项系数最大,建立不等式组,即可求展开式中系数最大的项.
解答 解:令x=1得展开式各项系数和为4n,二项式系数为$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n={2^n}$,
由题意得:4n-2n=992,解得n=5…(2分)
(1)${T_{r+1}}=C_5^r{3^r}•{x^{\frac{10+r}{3}}}$
当$\frac{10+r}{3}=4⇒r=2$,∴${T_3}=C_5^2•{3^2}•{x^4}=90{x^4}$.…(4分)
(2)∵n=5,∴展开式共6项,二项式系数最大项为第三、四项,
∴${T_3}=C_5^2•{3^2}•{x^4}=90{x^4}$,${T_4}=C_5^3•{3^3}•{x^{\frac{13}{3}}}=270{x^{\frac{13}{3}}}$…..(8分)
(3)展开式中第k+1项系数最大,
∴$\left\{\begin{array}{l}C_5^k•{3^k}≥C_5^{k-1}•{3^{k-1}}\\ C_5^k•{3^k}≥C_5^{k+1}•{3^{k+1}}\end{array}\right.⇒\frac{7}{2}≤k≤\frac{9}{2},k∈8$,k∈N.
∴k=4,
∴${T_5}=C_5^4•{3^4}•{x^{\frac{14}{3}}}$=$405{x^{\frac{14}{3}}}$…(12分)
点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.
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A. | ②③ | B. | ①③④ | C. | ①③ | D. | ①④ |
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A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | a>c>b | D. | c>b>a |
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