Question

已知函数f(x)＝(ax－1)e^x，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

 [解析]　(1)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)e^x，

所以当a＝1时，f ′(x)＝xe^x，令f ′(x)＝0，则x＝0，

所以f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，0)	0	(0，＋∞)
f ′(x)	－	0	＋
f(x)		极小值

所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1.

(2)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)e^x，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，

所以f ′(x)≥0对x∈(0,1)恒成立．

又e^x>0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，

解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要成立，

即解得a≥1.

解法二：要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，

因为x>0，所以a≥对x∈(0,1)恒成立，

因为函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，

∴g(x)≤1，∴a≥1.